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數學函數重點知識

來源:網絡資源 2019-05-07 13:52:23

  注重對概念的理解

  函數部分的一個鮮明特點是概念多,對概念理解的要求高。而在實際的復習中,學生對此可能不是很重視,其實,概念能突出本質,產生解決問題的方法。對概念不重視,題目一定也做不好。

  就高考而言,直接針對函數概念的考題也不少,例如05年上海春季高考數學卷的第16題就是考察學生是否理解函數最大值的概念。在高中數學的代數證明問題中,函數問題是最多最突出的一個部分,如函數的單調性、奇偶性、周期性的證明等等,而用定義法判斷和證明這些性質往往是最直接有效的方法。上海卷連續兩年都考查了這方面的內容與方法,如06年文、理科的第22題,考查的是函數的單調性、值域與最值,07年的第19題,文科考察的是函數奇偶性的判斷與證明,理科在此基礎上還考察了函數單調性。

  構建知識、方法與技能網

  當問到學生類似于函數主要有哪些內容?等問題時,學生的回答大多是一些零散的數學名詞或局部的細節,這說明學生對知識還缺少整體把握。所以復習的首要任務是立足于教材,將高中所學的函數知識進行系統梳理,用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯,以便于找出自己的缺漏,明確復習的重點,合理安排復習計劃。

  就函數部分而言,大體分為三個層次的內容:

  1、函數的概念與基本性質,主要有函數的概念與運算、單調性、奇偶性與對稱性、周期性、最值與值域、圖像等。

  2、一些簡單函數的研究,主要是二次函數、冪、指、對函數等。

  3、函數綜合與實際應用問題,如函數-方程-不等式的關系與應用,用函數思想解決的實際應用問題等。

  當然,在這個過程中也發現,學生梳理知識的過程過于被動、機械,只是將課本或是參考書中的內容抄在本子上,缺少了自己的認識與理解,將知識與方法割裂開來,整理的東西成了空中樓閣,自然沒什么用。這時,就需對每一個內容細化,問問自己復習這個內容時需要解決好哪些問題,以此為載體來提煉與總結基本方法。

  以函數的單調性為例,可以從哪些問題入手復習呢?問題一:什么是函數的單調性?可以借助一些概念的辨析題來幫助理解。問題二:如何判斷和證明一個函數在某個區間上的單調性?對這個問題的解決,需要的知識基礎有:理解函數單調性的概念,熟知所學習過的各種基本函數(如一次函數、二次函數、反比例函數、冪、指、對函數等)的單調性,和函數(如y=x+ax(a0))以及簡單的復合函數單調性等。基本的方法主要是利用單調性的定義、以及不等式的性質進行判斷和證明。問題三:函數的單調性有哪些簡單應用?主要的應用是求函數的最值,此外還可能涉及到不等式、比較大小等問題。最后還可以進一步總結易錯、易漏點,如討論函數的單調性必須在其定義域內進行,兩個單調函數的積函數的單調性不確定等。

  抓典型問題強化訓練

  高三學生在復習中大都愿意花大量時間做題,追求解題技巧,雖然這樣做有一定的作用,但題目做得太多太雜,未必有利于基本方法的落實。其實對于每一個知識點都有典型問題,抓住它們進行訓練,將同一知識,同一方法的問題集中在一起練習,并努力使自己表達規范、正確,相信能達到更高效的復習效果。

  還是以函數的單調性的判斷與證明為例,一般也就兩類典型問題。第一是正確判斷與證明某個函數的單調性,寫出單調區間,要注意函數的各種形式,如分式的(如y=x+32x+1),和函數(如y=x+(a0)),簡單的復合函數(如y=log2(x2-2x-3)),以及帶有根式和絕對值的等等。第二是它的逆問題,知道函數在某個區間上的單調性如何求字母參數的取值范圍,如函數y=ax2+x+2在區間[5,10]上遞增,求實數a的取值范圍等。

  另一方面,可以在同一個問題的背景下,自己做一些小小的變化與發展,從中做一些深入的探究。例如將函數y=log2(x2-2x-3)變化為y=loga(x2-2x-3)單調性會怎樣變化?如果變化為y=log2(ax2-2x-3)情況又如何?再復雜一些,如變化為y=loga(x2-2x-a)呢?反之,如果函數y=log2(ax2-2x-3)在區間(-,1)上單調遞減,a的取值范圍是什么?在此基礎上再想一想還能提出什么問題來研究呢?例如函數y=log2(ax2-2x-3)的值域為R,a的取值范圍是什么?函數y=log2(ax2-2x-3)是否可以有最大值,如果有,a的取值范圍是什么?對自己提出的問題加以解決,能使自己的復習更有針對性,真正掌握解題的規律和方法,并幫助自己跳出盲目的題海戰。

  總之,在復習中把握函數的基本概念,將知識、方法和技能有機地整合起來,建立一個立體網絡,就一定能達到良好的復習效果。

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